В проверенной выборке может не оказаться ни одного дефектного изделия, хотя в партии такие изделия есть. Противоречия здесь нет. Результат испытаний относится к отобранным предметам, а решение о приёмке касается более широкого множества. Чтобы связать эти утверждения, необходимо определить способ отбора и вопрос, на который должен ответить расчёт. Вероятность обнаружить заданный дефект сама по себе не является вероятностью того, что вся оставшаяся продукция соответствует требованиям.
13 августа 2025 года «Интерфакс» сообщил об обсуждении хартии рынка мёда в России. Заместитель руководителя Роскачества Елена Саратцева связала инициативу с лабораторными исследованиями. Приведённый ниже условный пример не описывает правила проверок этой программы.
Рассматриваемый деловой вопрос существенно уже, чем восстановление доверия к отрасли. Допустим, при получении поставки организация проверяет только часть изделий. Что выбранная процедура позволяет сказать о возможности обнаружить конкретную проблему? Анонимная числовая модель помогает разобрать этот вопрос без оценок отдельных производителей, рекомендаций по проверке пищевой продукции и предположений о фактической распространённости нарушений на каком-либо рынке. Все предметы, числа и условия дальнейшего примера придуманы исключительно для анализа способа отбора.
Сначала зададим неизменную партию
Представим двадцать отдельных запечатанных изделий. Ровно два из них не соответствуют одному условному признаку, остальные восемнадцать соответствуют. У признака предусмотрены только два состояния, без промежуточных оценок. Пока формируется выборка, изделия не портятся и не исправляются, новые предметы не добавляются, старые не исчезают. Никто не заменяет неудобный экземпляр другим. Таким образом, перед нами фиксированная совокупность, в которой наличие двух дефектов задано аналитиком заранее, а не установлено по результатам проверки.
Здесь важно различать исходное условие задачи и знания работника, принимающего поставку. Мы спрашиваем, какие выборки могли бы получиться, если в партии действительно находятся ровно два дефектных изделия. Это не означает, что работник заранее видит содержимое каждой упаковки. Также мы не утверждаем, что реальные поставки содержат именно два дефекта на двадцать предметов. Малые целые числа нужны для того, чтобы условный вопрос можно было полностью разобрать, не пряча его устройство за большой таблицей.
Предположим, что испытание совершенно точно определяет соответствие проверяемого изделия выбранному признаку. Оно никогда не пропускает дефект в исследованном предмете и никогда не объявляет исправный предмет дефектным. Такое допущение отделяет охват выборкой от точности самого испытания. Если хотя бы один из двух дефектных предметов попал в выборку, проблема обязательно будет обнаружена. Единственная возможность её пропустить состоит в том, чтобы отобрать только предметы из восемнадцати соответствующих условному требованию.
Отбираем заранее установленное число разных изделий случайно и без возвращения. Любое подмножество заданного размера имеет одинаковую вероятность оказаться в выборке. Уже выбранный предмет не может занять ещё одно место. Это не то же самое, что несколько раз проверять ближайшую упаковку или принимать для испытаний набор, который удобнее всего предоставить поставщику. Расчёт опирается именно на описанный способ отбора. Само по себе количество записей в журнале испытаний ещё не подтверждает соблюдение этого условия.
Две проверки оставляют много возможностей пропустить дефект
Начнём с двух разных изделий. Вероятность того, что первое выбранное изделие соответствует требованию, равна восемнадцати двадцатым. Если первое действительно оказалось исправным, среди оставшихся девятнадцати предметов будет семнадцать исправных. Поэтому вероятность двух результатов без обнаруженного дефекта равна произведению восемнадцати двадцатых на семнадцать девятнадцатых. Получаем 306, делённое на 380, или примерно 80,5 процента. Второй множитель учитывает, что первый предмет уже исключён из дальнейшего отбора.
Итак, даже при гарантированном наличии двух дефектов вероятность ничего не обнаружить весьма велика. Для данной условной партии два благополучных результата вовсе не выглядят необычным исходом. Это не говорит о неточности испытания: оба исследованных изделия действительно соответствуют заданному признаку. Проблема находится за пределами выбранной пары, где испытание вообще не проводилось. Безупречная точность измерения на двух предметах не превращается в наблюдение за остальными восемнадцатью.
Вероятность обнаружить хотя бы один дефект составляет дополнение до единицы, то есть приблизительно 19,5 процента. Для нашего вопроса эти два исхода исчерпывают все варианты. Выборка либо содержит хотя бы одно дефектное изделие, либо не содержит ни одного. Отдельно рассчитывать вероятности обнаружения одного и двух дефектов сейчас не требуется. Такое разделение могло бы отвечать другому вопросу, но оно не изменяет вероятность самого факта обнаружения проблемы в выбранных предметах.
Считаем возможные выборки, а не отдельные удачные проверки
Из двадцати различных предметов можно составить 190 разных пар, если порядок предметов внутри пары не учитывать. Из восемнадцати исправных предметов получается 153 пары. Следовательно, доля полностью исправных пар среди всех возможных равна 153 из 190. Это то же число, что 306 из 380. Такой подсчёт независимо подтверждает последовательное умножение вероятностей и не принимает изменение порядка проверки одной пары за появление другой выборки.
Фактически проведённая проверка даст одну определённую пару, а не сразу все возможные пары. Вероятность описывает устройство отбора среди этих возможностей. После испытания двух конкретных предметов их результаты становятся установленными наблюдениями. Если смешивать эти уровни, легко представить благополучную проверку так, будто она одновременно разрешила вопрос обо всех остальных парах, которые могли попасть в испытание. Между реально проверенными предметами и пространством возможных выборок необходимо сохранять ясную границу.
Увеличим охват, не меняя содержимое партии
Теперь выберем пять разных изделий, сохранив все остальные условия. Вероятность не обнаружить дефект равна отношению числа наборов по пять предметов из восемнадцати исправных к числу таких наборов из всех двадцати. В обычной записи сочетаний это C(18,5), делённое на C(20,5). Отношение равно 210 из 380, или примерно 55,3 процента. Увеличение выборки заметно изменило вероятность, хотя ни одно изделие в самой партии не было исправлено или заменено.
Аналогичный подсчёт для выборки из n предметов даёт C(18,n), делённое на C(20,n). Для целых n от нуля до восемнадцати выражение упрощается: произведение чисел «20 минус n» и «19 минус n» нужно разделить на 380. Знаменатель остаётся постоянным, поскольку число предметов и число дефектов в партии не меняются. Меняется лишь размер проверяемого множества, а вместе с ним возможность встретить хотя бы один из уже существующих дефектов.
- При проверке двух разных изделий вероятность ничего не обнаружить составляет около 80,5 процента.
- При проверке пяти изделий она составляет около 55,3 процента.
- При проверке десяти изделий — около 23,7 процента.
- При проверке пятнадцати изделий — около 5,3 процента.
- При проверке шестнадцати изделий — около 3,2 процента.
Каждая доля относится только к условию о двух дефектах в двадцати предметах и к равновероятному отбору без возвращения. Это не измеренные показатели предприятия или товарной категории. Перечень сравнивает процедуры внутри одной придуманной ситуации. Он не устанавливает, сколько изделий следует проверять реальной организации, чего требует контролирующий орган и какой остаточный риск допустим. Для таких выводов нужны другие исходные данные и основания, которых в настоящем примере нет.
Например, можно произвольно провести линию на уровне пяти процентов. Выборка из пятнадцати предметов оставляет вероятность немного выше этой линии, а из шестнадцати — ниже. Это лишь арифметическое сравнение. Пять процентов здесь не взяты из договора, оценки безопасности или обязательного стандарта. Привычный вид числа не придаёт ему нормативного значения. Поэтому пересечение линии не должно превращаться в утверждение о достаточности проверки для какой-либо практической задачи.
Крайние случаи раскрывают устройство расчёта
Если не проверить ни одного предмета, вероятность не обнаружить дефект равна единице. Без наблюдений обнаружение произойти не может. Если проверить восемнадцать разных предметов, вероятность ничего не найти составит два, делённое на 380, или примерно 0,53 процента. Значение мало, но не равно нулю. Возможна выборка, содержащая ровно восемнадцать исправных изделий и оставляющая оба дефектных предмета за своими пределами. Маловероятный исход остаётся логически возможным.
При проверке девятнадцати разных предметов пропустить оба дефекта уже невозможно. Вне выборки останется только одно изделие, а в одном месте не могут находиться два разных дефектных предмета. Проверка всех двадцати также гарантирует обнаружение в рамках модели. Эти выводы следуют из заданного количества дефектов и совершенной точности испытания. Они не являются гарантией для реальной проверки, когда неизвестны число нарушений, свойства измерительного метода или фактический состав поставки.
Общую формулу можно понять и с другой стороны. Чтобы выборка оказалась полностью исправной, оба дефектных изделия должны находиться среди оставшихся «20 минус n» непроверенных предметов. Подсчёт возможных мест для этой пары даёт то же отношение. Такой взгляд переносит внимание с изученных упаковок на пространство, которое осталось вне проверки. Проблема может остаться незамеченной только тогда, когда оба дефекта умещаются в этой непроверенной части фиксированной совокупности.
Отсюда видно, почему требуется выбирать разные предметы. Повторное испытание одного исправного изделия не сокращает число неизученных изделий в партии. Оно может быть полезно для отдельного вопроса о повторяемости измерений, но не воспроизводит охват, достигаемый добавлением новых предметов. Если отчёт показывает только число проведённых испытаний, он способен скрыть различие между повторным измерением и расширением выборки. В нашей задаче единицей охвата служит отдельное изделие, а не строка журнала.
Нельзя переставлять условие и результат
После благополучной проверки руководитель может захотеть узнать вероятность того, что вся партия исправна. Наш расчёт этого не определяет. Он задаёт вероятность благополучной выборки при условии, что в партии уже имеются два дефектных изделия. Если поменять местами условие и наблюдение, получится другая величина. Поэтому найденный процент нельзя просто переименовать в вероятность исправности всей поставки или какого-либо непроверенного предмета. Одинаковые слова в вопросах не делают сами вопросы одинаковыми.
В пределах исходной модели два дефекта существуют по определению. Благополучная выборка не устраняет их. Чтобы делать вывод о неизвестном состоянии партии по наблюдённым результатам, нужна дополнительная модель. Она должна описывать возможные состояния партии и сведения, которыми располагали до проверки. Здесь такая модель не задаётся, а исходные вероятности разных состояний не выбираются за работника приёмки. Условный расчёт охвата не может незаметно подменить собой отдельную задачу статистического вывода.
Это различие защищает от двух противоположных ошибок. Первая — объявить всю партию исправной, потому что дефектов в выборке не было. Вторая — заявить, что вероятность дефектной партии равна 80,5 процента, поскольку именно такое число получилось для двух проверок. Ни одно утверждение из расчёта не следует. Процент характеризует результат отбора при заранее заданном наличии дефектов, а не пересмотренную оценку неизвестной поставки после получения новых сведений.
Корректная запись вместо этого может отдельно назвать проверенные предметы и обнаруженные результаты. Рядом допустимо привести расчёт охвата, явно указав условие о предполагаемом устройстве партии. Разделение этих утверждений не делает проверку бесполезной. Оно показывает, какие сведения действительно получены и какие дополнительные предположения потребовались бы для более широкого заключения. Точность формулировки важна именно потому, что благополучное наблюдение является настоящим фактом, но фактом с определёнными границами.
Удобный отбор — не обязательно случайный
Использованная формула приписывает одинаковую вероятность каждому подмножеству нужного размера. Если чаще выбираются предметы с передней стороны палеты, из первой прибывшей коробки или из специально подготовленного набора, условие может не выполняться. Количество испытаний останется прежним, но связь выборки с партией изменится. В таком случае ссылка на рассчитанную вероятность будет описывать процедуру, которая фактически не применялась. Дополнительные десятичные знаки в отчёте этого несоответствия не исправят.
Это логическое ограничение, а не обвинение конкретного поставщика. Удобный отбор может возникнуть без какого-либо намерения ввести покупателя в заблуждение. Работник просто берёт то, до чего легче добраться. Однако доступность предмета и равная вероятность его выбора — разные свойства. Условная модель не устанавливает, что они совпадают при реальном расположении коробок. Поэтому количество выбранных изделий и способ выбора нельзя считать взаимозаменяемыми характеристиками проведённой работы.
Граница самой партии также имеет значение. Если в перечне указаны двадцать изделий одной поставки, а предметы для испытания взяты из другой, точность лабораторного результата не устраняет расхождение. Добавление новых изделий после отбора тоже меняет совокупность, к которой пытаются отнести наблюдение. Расчёт для одного фиксированного множества нельзя без пояснений превратить в доказательство относительно более крупного или другого множества. Сначала должно оставаться понятным, что именно было доступно для отбора.
Охват и точность испытания отвечают на разные вопросы
Даже проверка каждого изделия не разрешила бы все возможные проблемы за пределами модели. Допущение о совершенном испытании специально исключает ложные результаты и неполный охват свойств. Проверка одного признака не устанавливает автоматически все остальные характеристики продукции. Следовательно, число исследованных предметов и описание того, что способен обнаружить метод, должны оставаться отдельными частями объяснения. В нашей задаче метод безошибочен по одному заданному признаку, но это условие придумано, а не подтверждено для реальной технологии.
Мы не рассчитываем влияние ошибочных измерений, связанных ошибок или нескольких видов дефектов. Их добавление потребовало бы новых предположений, а не небольшой произвольной поправки к показанным процентам. Простой пример полезен тем, что выделяет один источник неопределённости до объединения с другими. Дефект способен остаться незамеченным исключительно потому, что содержащий его предмет не попал в выборку. Для этого не нужны ни неисправный прибор, ни недостоверный протокол, ни изменение качества партии.
Кроме того, здесь не оптимизируются расходы на контроль. Большая выборка может требовать больше работы, но стоимость испытаний и последствия пропуска не заданы. Для выбора процедуры потребовались бы действительные цели и ограничения конкретной задачи. Одна таблица вероятностей не определяет экономически оптимальное или иным образом достаточное число проверок. Предмет анализа — условная вероятность обнаружения при заданном отборе, а не инструкция по закупке лабораторных услуг или решение о выпуске продукции.
Благополучный результат заслуживает точного описания
В условном документе о приёмке нужно различать три вещи: фиксированную совокупность, из которой брали предметы, способ выбора разных изделий и результаты их испытаний. Расчёт процедуры может добавить четвёртый элемент — вероятность, явно обусловленную заданным количеством дефектов и точностью метода. Объединение всего этого в единственную отметку «проверено» скрывает различие, ради которого построен пример. Такая отметка не сообщает, какие именно наблюдения стоят за ней и какой вывод разрешают исходные условия.
В партии из двадцати предметов две совершенно точные проверки могут ничего не обнаружить с высокой вероятностью, хотя дефекты точно присутствуют. Пятнадцать и шестнадцать разных проверок дают другой охват, а крайние случаи объясняют причину изменения. Ни один расчёт не исправляет содержимое поставки. Меняется только способность процедуры встретить уже имеющиеся нарушения. Это и отделяет честное сообщение о благополучной выборке от необоснованного утверждения, будто установленное соответствие двух предметов распространяется на каждое изделие партии.