Водитель может выбрать маршрут, который сокращает его собственную поездку, но увеличивает суммарное время всех поездок по этим дорогам. Дело не обязательно в ошибочном решении. Выбор меняет продолжительность чужой поездки, а эта дополнительная задержка не входит в сравнение собственных вариантов водителя. Небольшой пример с полностью заданными условиями позволяет увидеть минуты, которые остаются за пределами такого личного расчёта.
13 января 2025 года Рейтер (Reuters) передало предварительное сообщение транспортных властей о снижении движения после введения платы за въезд в Нью-Йорке, США, 5 января. Это наблюдение не является оценкой причинного эффекта. Условная дорожная сеть ниже не изображает Манхэттен.
Три поездки по двум условным маршрутам
Представим три автомобиля, которые направляются из одной исходной точки в один пункт назначения. Каждый должен совершить одну поездку и может воспользоваться любым из двух параллельных маршрутов. Общее число поездок не меняется. Никто не отменяет выезд, не выбирает другой адрес, не пересаживается к соседу и не переносит время отправления. Мы сравниваем полные распределения этих трёх поездок между дорогами, а не последовательность поворотов автомобилей на середине настоящего пути.
Назовём маршруты А и Б. На маршруте А продолжительность поездки каждого автомобиля равна десяти минутам, умноженным на количество использующих его машин. Одна машина едет десять минут; при двух машинах каждая едет двадцать; при трёх каждая едет тридцать. На маршруте Б любая машина едет двадцать пять минут независимо от того, одна она там, вдвоём с другой или вместе с двумя другими. Это заданные условия примера, а не результаты измерений или техническое описание конкретных дорог.
Каждый водитель знает эти зависимости и стремится сократить время собственной поездки. Рассматривая переход на другой маршрут, он включает свою машину в новую загрузку выбранной дороги. Если по ней уже едет один автомобиль, его поездка занимает десять минут. Но после присоединения второго автомобиля поездка нового участника займёт двадцать. Сравнивать прежние десять минут с двадцатью пятью было бы ответом на другой вопрос.
Общий показатель здесь — машино-минуты: складываем продолжительность всех трёх поездок. Каждая минута каждого автомобиля получает одинаковый вес. Это не время на одних часах, не денежная оценка и не число пассажиров. В расчёте нет платы за маршрут, расхода топлива, штрафа за позднюю доставку или различий в ценности времени. Такое узкое определение позволяет точно установить, чья продолжительность поездки меняется вслед за выбором дороги.
Сначала перечислим все варианты загрузки
На маршруте А может находиться ноль, один, два или три автомобиля. Поскольку всего машин всегда три, каждому из этих чисел соответствует определённое количество машин на маршруте Б. У водителей есть отдельные личности, но заданное время зависит только от числа пользователей дороги. Поэтому сначала можно рассчитать суммы для всех вариантов загрузки, ещё не решая, какой именно водитель займёт каждое место.
- Ни одной машины на А и три на Б: три поездки по двадцать пять минут дают семьдесят пять машино-минут.
- Одна машина на А и две на Б: десять плюс двадцать пять плюс двадцать пять дают шестьдесят машино-минут.
- Две машины на А и одна на Б: двадцать плюс двадцать плюс двадцать пять дают шестьдесят пять машино-минут.
- Три машины на А и ни одной на Б: три поездки по тридцать минут дают девяносто машино-минут.
Наименьшая сумма равна шестидесяти: одна машина должна ехать по А, а две по Б. Этот вывод получен перебором всех возможных количеств, а не предположением, что всем следует выбрать дорогу, которая быстрее без других пользователей. Направление всех трёх машин на А даёт в нашем примере самую большую сумму, хотя именно А обеспечивает самую короткую отдельную поездку при единственном пользователе.
Суммарное время непосредственно на А возрастает от десяти до сорока, а затем до девяноста машино-минут, когда число машин увеличивается от одной до двух и до трёх. Таким образом, вторая машина добавляет на А тридцать машино-минут, хотя сама едет двадцать: ещё десять принадлежат прежнему пользователю. После вычитания исчезнувшей с Б поездки продолжительностью двадцать пять минут остаётся увеличение на пять минут по обеим дорогам вместе. Учёт только новой поездки по А пропустил бы часть изменения.
Перечисление также отделяет результат от его описания. Фраза «по А ехать двадцать минут» неполна, если не сохраняется загрузка из двух машин. Перемещение машины на А или с А меняет условие, на котором основана эта цифра. Двадцать пять минут на Б, напротив, остаются неизменными при всех допустимых загрузках, потому что это прямо предусмотрено моделью. Если обращаться с обеими длительностями как с постоянными надписями на дорогах, исследуемый механизм исчезнет.
Проследим за пятью сэкономленными и десятью добавленными минутами
Начнём с распределения, при котором общая сумма минимальна. Обозначим водителей нейтрально: Первый использует А, а Второй и Третий — Б. Их поездки занимают соответственно десять, двадцать пять и двадцать пять минут. Теперь рассмотрим выбор Вторым маршрута А, тогда как двое остальных сохраняют свои решения. На А окажутся Первый и Второй, поэтому каждый потратит двадцать минут. Третий останется на Б и по-прежнему потратит двадцать пять.
Для Второго это улучшение на пять минут: двадцать вместо двадцати пяти. Он правильно учёл дополнительную загрузку, которую создаёт его собственная машина. Здесь нет ошибочного прогноза навигатора и предположения, будто дорога останется такой же быстрой, как при одном Первом. Даже точно предвидя новую продолжительность своей поездки, Второй предпочитает сменить маршрут.
Первый сталкивается с другой стороной решения. Его поездка удлиняется с десяти до двадцати минут, хотя сам он не менял выбранную дорогу. Добавленная ему задержка составляет десять минут. Для Третьего ничего не меняется. Складывая индивидуальные изменения, получаем экономию пяти минут, потерю десяти и нулевое изменение: сумма возрастает на пять, с шестидесяти до шестидесяти пяти машино-минут.
Десять минут, добавленных Первому, и составляют внешний эффект в данном примере. Это не все двадцать минут новой поездки Второго. Это также не пять минут чистого увеличения общей суммы. Три величины отвечают на разные вопросы: сколько едет выбирающий маршрут человек, насколько дольше из-за его решения едет другой и что получается после сложения всех изменений.
Различие существенно, поскольку даже точное личное сравнение способно оставить реальное последствие за своими пределами. Второй сопоставляет собственные двадцать минут с собственными двадцатью пятью. Дополнительные десять минут Первого в таком сопоставлении не присутствуют. Поэтому назвать переход выгодным отдельному участнику и увеличивающим общее время вполне последовательно. Оба утверждения используют один и тот же полный набор заданных длительностей, но учитывают изменения у разных людей.
Почему никто не покидает менее выгодное для суммы распределение в одиночку
При двух машинах на А и одной на Б проверим изменение выбора для каждого типа пользователя. Водитель с А сейчас тратит двадцать минут. Если только он перейдёт на Б, его поездка займёт двадцать пять минут, поэтому переход ему невыгоден. Оставшийся на А водитель выиграл бы от уменьшения загрузки, однако потенциальный участник перехода сравнивает продолжительность собственной поездки.
Водитель с Б сейчас тратит двадцать пять минут. Его самостоятельный переход на А увеличит число машин там с двух до трёх, и поездка перешедшего займёт тридцать минут. Этот вариант также невыгоден. Значит, никто не может сократить свою поездку отдельной сменой маршрута, пока все остальные сохраняют решения. При заданной в модели личной цели распределение устойчиво к одностороннему изменению выбора.
Остальные количества машин такой проверки не проходят. Когда на А никого нет, пользователь Б может получить десять минут вместо двадцати пяти. Когда на А одна машина, другой водитель может получить двадцать вместо двадцати пяти. Когда все трое находятся на А, один может перейти на Б и получить двадцать пять вместо тридцати. Только количество двух машин на А выдерживает все отдельные сравнения.
Устойчиво одно количество, но не единственное распределение конкретных людей. Любой из трёх водителей может оказаться тем, кто использует Б. Получаются три распределения по личностям с одинаковыми длительностями поездок. Аналогично, минимальная сумма достигается, когда любой один водитель остаётся на А. Модель не выбирает, кому достанется каждое положение, и не предсказывает развитие исходного распределения во времени.
Обмен местами сохраняет загрузку
Одновременный обмен местами отличается от одностороннего перехода. Если один пользователь А и пользователь Б поменяются маршрутами, загрузка останется прежней: две машины на А и одна на Б. Бывший пользователь Б сэкономит пять минут, а бывший пользователь А потеряет пять; общая сумма останется равной шестидесяти пяти. Такой обмен меняет человека, которому достаётся более долгая поездка, но не устраняет разрыв, связанный с добавленной другим задержкой. Для достижения шестидесяти минут необходимо изменить количество машин на маршрутах, а не просто по очереди занимать уже существующие места в неизменном распределении.
Меньшая сумма не означает выигрыш каждого
Вернёмся к устойчивому варианту: Первый и Второй находятся на А, Третий — на Б. Чтобы получить минимальную сумму и сохранить Первого на А, переведём Второго обратно на Б. Продолжительность поездки Первого сократится с двадцати до десяти минут. У Второго она увеличится с двадцати до двадцати пяти. У Третьего останется равной двадцати пяти. Улучшение на десять минут для Первого превышает ухудшение на пять минут для Второго, и общая сумма уменьшается на пять.
Это не улучшение для всех без исключения. Человек, которому предлагается использовать Б, теряет пять минут относительно своего устойчивого положения. Меньшая сумма не устраняет этот проигрыш, и аналитику не следует описывать его как недоразумение. Именно такой проигрыш объясняет, почему минимальное общее время не поддерживается самостоятельным выбором кратчайшей собственной поездки каждым участником.
Пример также показывает, почему сведения о затронутом человеке должны оставаться связанными с расчётом. Два отсортированных списка длительностей позволяют увидеть суммы, но не показывают, кто переходит от двадцати минут к двадцати пяти. Решение о распределении касается людей на определённых местах, а не только набора мест. Один и тот же численный минимум допускает несколько распределений, в которых выигрывают разные конкретные участники.
Никакая компенсация, договорённость или процедура обеспечения выбранного распределения здесь не задана. Поэтому арифметика не устанавливает способ реализации меньшей суммы и не доказывает приемлемость определённого способа. Она выявляет конфликт, который пришлось бы обсуждать: лично привлекательное перемещение одного человека добавляет другим больше времени, чем экономит ему самому.
Разрыв объясняется двумя разными порогами
Эффект не привязан исключительно к числу двадцать пять. Оставим зависимость времени на А прежней, а постоянную продолжительность поездки по Б временно обозначим буквой b. Рассмотрим значения строго больше двадцати и строго меньше тридцати минут. Это сравнение внутри условной модели, а не оценка диапазона для настоящей дороги. Его задача — показать, какие именно неравенства создают различие между результатами.
Когда на А уже есть одна машина, присоединившийся пользователь Б потратит двадцать минут. Переход лично выгоден ему, если b больше двадцати. Однако сумма при одной машине на А равна десяти плюс удвоенное b, а при двух машинах на А — сорока плюс b. Вторая сумма превышает первую, если b меньше тридцати.
Между двадцатью и тридцатью оба утверждения верны одновременно. Водитель экономит b минус двадцать минут, тогда как прежний пользователь А теряет десять. Экономия положительна, но меньше десяти минут. Вычитая её из добавленной чужой задержки, получаем тридцать минус b дополнительных машино-минут в общей сумме. Подстановка двадцати пяти возвращает увеличение на пять минут, которое уже было прослежено по отдельным людям.
На всём этом открытом интервале сохраняются также сравнения устойчивости и минимума. Два пользователя А предпочитают свои двадцать минут величине b, а пользователь Б предпочитает b тридцати минутам. При одной машине на А сумма меньше, чем при нуле, поскольку b больше десяти, и меньше, чем при трёх, поскольку b меньше сорока. Она также меньше суммы при двух машинах на А, поскольку b меньше тридцати. На исключённых границах некоторые сравнения становятся равенствами и требуют отдельной формулировки.
Наблюдаемая поездка не раскрывает добавленную другим задержку
Предположим, запись показывает, что Второй проехал по А за двадцать минут. Этого достаточно, чтобы описать его поездку при фактическом для модели распределении. Но одной записи недостаточно для установления задержки, которую Второй добавил Первому. Для её расчёта нужно также знать продолжительность поездки Первого при альтернативном распределении, где Второго на А нет.
Здесь альтернатива известна, потому что мы заранее задали всю зависимость: десять минут при одной машине и двадцать при двух. В наблюдаемой ситуации две поездки в разные дни не предоставили бы автоматически такое же сравнение. Могли различаться другие автомобили, время выезда и условия движения. Условный расчёт исключает эти вопросы своими определениями, но не предлагает эмпирического метода, который уже решил их на практике.
Оценка времени маршрута поэтому может быть точной для своей задачи и одновременно недостаточной для более широкого вопроса. Прогноз собственной длительности поездки выбирающего человека — одна задача. Описание того, как его выбор меняет длительности у других пользователей, — другая. Для второй нужна зависимость между загрузкой и временем вместе с ясно заданным альтернативным распределением, а не просто более подробная запись уже завершённой поездки самого водителя.
Деловой вопрос должен быть столь же точным, как расчёт
Для организации, рассматривающей несколько поездок вместе, пример разделяет три вопроса. Какой маршрут короче для данной машины при решениях остальных? Какое полное распределение даёт наименьшую сумму времени? Кто выигрывает и проигрывает при изменении этого распределения? Ответы расходятся, потому что длительность поездки по дороге зависит от числа её пользователей. Для возникновения различия не нужен более быстрый автомобиль или сокращение самой задачи.
Эти вопросы не определяют транспортную политику в целом. В модели нет пассажиров, изменения спроса на поездки, приоритетов доставки, расходов на согласование или выбора другого времени отправления. Добавление любого такого условия изменит состав учитываемых величин или набор доступных решений. Расчёт также не задаёт тариф и не доказывает последствия настоящей программы взимания платы. Его вывод относится к одному точно определённому взаимодействию.
Решающий расчёт остаётся небольшим: один водитель экономит пять минут, другой теряет десять, а у третьего ничего не меняется. Выигрыш выбирающего маршрут реален, но это не всё изменение. Если сохранять в поле зрения добавленную другим задержку, становится понятно, почему лично более быстрая дорога способна увеличить общее время без каких-либо ошибок человека в оценке собственной поездки.