Самая высокая оценка в наборе прошла проверку, которой остальные оценки не прошли: её выбрали именно за величину. Это кажется очевидным, однако меняет смысл расчёта ошибки. Метод может давать одинаково частые отклонения вверх и вниз, тогда как оставленное после сравнения число будет в среднем превышать истинное значение. Точность отдельной оценки и точность выбранного максимума относятся к разным величинам.
В России Интерфакс 9 сентября 2024 года сообщил о назначении аукциона по Ак-Сугу, а 14 октября — о приостановке. Эти сообщения не устанавливают ни ставок, ни переплаты.
В интервью Национальному научному фонду 2020 года Пол Милгром (Paul Milgrom) объяснял связь победы с завышением стоимости через «проклятие победителя». Наш самостоятельный пример рассматривает только отбор оценок, не стратегию торгов.
Поставить точный вопрос можно без реконструкции чужих решений. Представим, что несколько человек оценивают один и тот же безымянный объект. До сравнения результатов метод каждого даёт положительную и отрицательную ошибку с одинаковой частотой. Можно предположить, что самая высокая оценка сохранит этот баланс. Однако такое предположение не обязательно верно. При отборе положительные ошибки могут сохраняться чаще отрицательных, даже если никто намеренно не завышает результат своей работы.
Отделить объект от оценок его стоимости
Пусть истинная стоимость объекта составляет сто условных единиц. Это предпосылка, известная аналитику, который строит пример. Оценщикам она не сообщается. Если заранее дать каждому точное значение, задача оценивания исчезнет, а не получит объяснение. Мы описываем распределение ошибок со стороны внешнего наблюдателя: он может задать контрольное значение, перечислить возможные результаты и проверить, что происходит после применения правила отбора.
Каждый оценщик сообщает либо восемьдесят, либо сто двадцать. В первом случае результат на двадцать единиц ниже контрольного значения, во втором — на двадцать выше. Вероятность каждого исхода равна половине. Пока предполагается, что ошибки разных людей независимы: сообщение одного человека о восьмидесяти не меняет вероятностей результатов остальных. Это специально упрощённые условия упражнения, а не измерение качества профессиональной оценки имущества.
Сообщённые числа представляют собой исходные результаты заданного процесса оценивания. Это не обещания купить объект, не распоряжения сделать ставку и не доказанные убеждения участников, располагающих полной моделью происходящего. В частности, мы не утверждаем, что восемьдесят или сто двадцать являются оптимальной оценкой человека после изучения всей доступной информации. Сначала задаётся механизм ошибок, чтобы затем отдельно исследовать действие правила выбора одного результата из нескольких.
В примере участвуют все оценщики. Здесь нет платы за вход, проверки допуска, отказов от участия или различий между оцениваемыми объектами. Человек с более высокой оценкой не получает другой, физически лучший предмет. Истинное значение во всём упражнении остаётся равным ста. Такие ограничения не позволяют незаметно превратить сравнение в рассказ об изменении качества, составе продаваемых товаров или решении отдельных владельцев выйти на рынок.
Одна оценка уравновешивает два возможных отклонения
Сначала рассмотрим одного человека, ещё не применяя правило сравнения. В половине случаев он сообщает восемьдесят, в половине — сто двадцать. Средняя оценка поэтому равна ста. То же самое можно выразить через ошибку: её среднее значение равно нулю, поскольку одинаково вероятные отклонения минус двадцать и плюс двадцать взаимно компенсируются. Именно в этом точном смысле индивидуальный метод в нашем примере является несмещённым.
Несмещённость не означает точности в каждом отдельном случае. Этот оценщик вообще никогда не сообщает ровно сто. Каждый полученный результат отстоит от контрольного значения на двадцать единиц. Нулевое среднее описывает равновесие между возможными ошибками, но ничего не гарантирует относительно следующего результата. Оно также не показывает, насколько удачным будет решение, принятое на основании оценки: ни решение, ни правило оплаты в модели пока не заданы.
Теперь добавим второго оценщика с точно таким же индивидуальным распределением ошибок. Ни один метод не стал лучше или хуже. Появилась только новая операция: сравнить два сообщения и оставить большее. Если значения совпадают, можно заранее установить любое постоянное правило выбора человека. Оба одинаковых сообщения содержат одно число, поэтому способ разрешения такой ничьей не изменит величину, которая останется после отбора.
Перечислить все четыре пары
Возможны четыре равновероятных сочетания. Оба человека могут сообщить восемьдесят. Первый может сообщить восемьдесят, а второй — сто двадцать. Первый может сообщить сто двадцать, а второй — восемьдесят. Наконец, оба могут сообщить сто двадцать. Независимость ошибок и равные индивидуальные вероятности означают, что каждому сочетанию соответствует вероятность одна четверть. Одно и то же высокое значение, полученное разными людьми, не объединяет разные сочетания в один исход.
- Из пары восемьдесят и восемьдесят выбирается максимум восемьдесят.
- Из пары восемьдесят и сто двадцать выбирается максимум сто двадцать.
- Из пары сто двадцать и восемьдесят также выбирается сто двадцать.
- Из пары сто двадцать и сто двадцать снова выбирается сто двадцать.
Выбранный максимум оказывается низким в одном случае и высоким в трёх. Его среднее равно четверти от восьмидесяти плюс трём четвертям от ста двадцати. Получается сто десять. Относительно неизменного контрольного значения сто средняя ошибка выбранной оценки равна плюс десять. Каждый индивидуальный метод по-прежнему несмещённый, но отбор большего сообщения создаёт положительную среднюю ошибку конечного результата.
Основную роль играют смешанные пары
В двух смешанных сочетаниях одновременно присутствуют отрицательная и положительная ошибки. Правило выбора сохраняет только положительную. Для сохранения отрицательной ошибки требуется, чтобы оба сообщения оказались низкими. При этом ни одна первоначальная оценка не исправляется после получения. Меняется лишь то, какой из уже существующих результатов становится итоговым. Поэтому проверка индивидуальных методов без проверки последующего отбора не обнаружила бы именно это различие.
Сочетание двух низких сообщений не менее важно для правильного вывода. Оно не позволяет утверждать, будто выбранный максимум обязательно завышен. В четверти случаев итог равен восьмидесяти и находится ниже контрольного значения. Положительная средняя ошибка совместима с отдельными случаями занижения. Кроме того, из одного сообщения о том, что оценка была выбрана, нельзя установить, какая из четырёх первоначальных пар возникла в конкретном упражнении.
Полезно заметить ещё одну подробность таблицы: отбор не создаёт число сто десять как отдельный возможный результат. После каждого сравнения остаётся либо восемьдесят, либо сто двадцать. Сто десять — среднее по всем четырём возможностям с их вероятностями. Если записать его в графу фактически полученной оценки, получится уже другое описание задачи. Смешение среднего результата процедуры с одним её выполнением скрывает сам механизм, который мы исследуем.
Третья оценка меняет распределение максимума
Добавим третьего независимого оценщика с теми же двумя возможными ошибками. Теперь существует восемь равновероятных сочетаний низких и высоких сообщений. Только в одном сочетании все три значения низкие. Во всех остальных есть хотя бы одно высокое сообщение, поэтому максимум равен ста двадцати. Вероятность низкого максимума составляет одну восьмую, а высокого — семь восьмых. Для этого подсчёта не требуется знать имя человека, сделавшего выбранную оценку.
Среднее выбранное значение теперь равно одной восьмой от восьмидесяти плюс семи восьмым от ста двадцати, то есть ста пятнадцати. Средняя ошибка составляет плюс пятнадцать. Истинная стоимость объекта не изменилась. Возможные индивидуальные ошибки и вероятности каждой из них тоже остались прежними. Всё изменение возникает из-за применения правила максимума к более многочисленному набору независимых сообщений, а не из-за ухудшения работы отдельного оценщика.
У этого сравнения узкий смысл. При заданных условиях третья оценка увеличивает среднее завышение выбранного максимума. Отсюда не следует, что получать больше информации вообще вредно. Другой способ использования тех же сообщений потребовал бы другого расчёта. Не получается отсюда и общего правила о реальной конкуренции, где участники могут пересматривать свои оценки или выбирать действия, не совпадающие с исходными числами в их первоначальных расчётах.
Два возможных значения одновременно задают очевидный верхний предел. Максимум никогда не превысит сто двадцать, сколько бы сообщений ни было собрано. Дополнительные возможности встретить высокую оценку не создают чисел за пределами предусмотренного диапазона. Эта граница помогает проверить формулировки: нельзя описывать результат так, будто среднее завышение в данном упражнении растёт без ограничений. И сто пятнадцать, как прежде сто десять, остаётся средним, а не третьим возможным сообщением.
Общая ошибка даёт другой результат
Сохраним индивидуальное распределение каждого оценщика, но заменим независимость общей ошибкой. В одном выполнении упражнения все сообщают восемьдесят либо все сообщают сто двадцать. Каждое из этих коллективных состояний имеет вероятность одна половина. У каждого отдельного человека средняя оценка всё ещё равна ста, а средняя ошибка — нулю. Если смотреть только на индивидуальный ряд ошибок, его распределение не отличается от рассмотренного ранее.
Теперь выбор максимума ничего не меняет. Когда все сообщения равны восьмидесяти, максимум тоже равен восьмидесяти. Когда все равны ста двадцати, выбирается сто двадцать. Среднее максимума составляет сто и для двух оценщиков, и для трёх, и для любого большего числа одинаковых сообщений. Выбор среди точных копий одного полученного значения не создаёт дополнительного положительного смещения по сравнению с первоначальным индивидуальным распределением.
Такой результат не делает общие ошибки желательными. Если общее сообщение неверно, все ошибаются одновременно. Сравнение отвечает на более узкий вопрос: какую дополнительную среднюю ошибку создаёт сам этап выбора максимума? В данном случае полностью общей ошибки он не создаёт её вовсе. Точность отдельного метода, зависимость между ошибками и правило выбора итогового числа — три разных свойства задачи, которые нужно описывать отдельно.
Следовательно, одного количества документов недостаточно, чтобы определить нужное распределение. Три независимо возникшие ошибки и три копии одной ошибки дают наблюдателю по три числа. Однако средние максимумы различаются. Значение имеет связь между ошибками, а не число фамилий на обложках отчётов. Назвать каждый дополнительный документ ещё одним мнением — не то же самое, что установить независимость, принятую в первой версии расчёта.
Предельный случай общей ошибки выбран намеренно: его легко проверить без дополнительных коэффициентов и сложных формул. Промежуточная зависимость потребовала бы отдельного описания вероятностей совместных исходов. Нельзя просто взять результат для независимых сообщений и уменьшить его на произвольный процент. В нашем сравнении достаточно двух чётко заданных вариантов, чтобы показать, почему одинаковых индивидуальных характеристик ещё недостаточно для одинакового результата отбора.
Выбранное число ещё не стало ценой
До сих пор никто ничего не платил. Модель выбирает сообщение, а не совершает сделку. Чтобы превратить выбранную оценку в цену, нужно дополнительное правило: как делаются предложения и какую сумму обязан заплатить выбранный участник. Такое правило намеренно отсутствует. Поэтому средние сто десять и сто пятнадцать нельзя переименовать в ожидаемые цены продажи. Это изменило бы предмет расчёта без добавления необходимых предпосылок.
По той же причине упражнение не даёт подходящей скидки к реальному предложению. Простое вычитание средней ошибки отбора само по себе не решает стратегическую задачу. Для её решения понадобились бы условия о знаниях участников, их реакции и доступных альтернативах. Маленькая таблица исходных ошибок не содержит этой информации. Аккуратность арифметики не заменяет описание решения, которое человек действительно должен принять в конкретной ситуации.
За пределами примера один объект также может иметь разную ценность для разных пользователей. У кого-то будет другое применение или реальное преимущество при эксплуатации. Тогда более высокая оценка способна отражать иную исходную ценность, а не более положительную ошибку. Наш общий неизменный ориентир прямо исключает такую возможность. Нельзя незаметно вернуть её в рассуждение и одновременно сохранить прежнее объяснение каждого различия между сообщениями.
При проверке результата важен весь набор
Допустим, в записи оставили только выбранную оценку. Такая запись может верно передавать итоговое число и при этом ничего не рассказывать о сравнении, которое его породило. Для понимания расчёта отбора нужны правило и соответствующий набор, а не только последняя строка. Максимум двух сообщений и максимум трёх сообщений имеют разные распределения в независимом варианте, хотя оба могут выглядеть как одно и то же число сто двадцать.
В условном упражнении все возможные сообщения и их вероятности заданы заранее. Реальная проверка не получает эти сведения автоматически при чтении итоговой цифры. Понадобятся данные о первоначальном процессе оценивания и подходящее контрольное значение для проверки ошибок. Одно высокое выбранное число не показывает, были ли индивидуальные методы смещёнными, были ли ошибки независимыми и действительно ли участники оценивали одну и ту же величину.
Следует также отличать математическое ожидание от среднего, которое получилось в короткой фактической серии. Значение сто десять выведено из четырёх равновероятных возможностей. Оно не обещает, что каждые четыре проведённых упражнения обязательно содержат все сочетания ровно по одному разу. В короткой серии исходы могут повторяться. Сохранение вероятностного смысла не позволяет превратить аналитическое среднее в расписание результатов, которые непременно должны появиться один за другим.
Именно поэтому таблица нужна не как перечень уже собранных отчётов, а как полное описание возможностей внутри принятых условий. В ней обе смешанные пары занимают отдельные строки: в одной высокое число сообщает первый человек, в другой — второй. Если объединить эти строки, забыв сложить их вероятности, получится неверное среднее. Если, наоборот, посчитать одинаковые высокие сообщения как два отдельных максимума одного сравнения, изменится число результатов процедуры. Правильный подсчёт сохраняет простое соответствие: каждому сочетанию исходных оценок отвечает ровно один выбранный максимум с вероятностью данного сочетания.
Сравнение меняет смысл заявления о точности
Мы начали с индивидуально сбалансированных ошибок и получили выбранное сообщение, которое в среднем завышено. Причиной оказались не нечестность, изменение объекта или неправильный расчёт индивидуального среднего. Причиной было правило, сохраняющее большее значение. Двух смешанных сочетаний достаточно, чтобы увидеть, почему после отбора положительная и отрицательная ошибки перестают получать одинаковый вес, хотя до сравнения у каждого участника их вероятности равны.
Сравнение с общей ошибкой устанавливает вторую часть вывода. Правило максимума не создаёт одинаковый эффект при любой связи между сообщениями. Когда все ошибки совпадают, смешанных сочетаний нет, а значит, отбору нечего предпочитать внутри них. Условия о зависимости поэтому относятся к самому объяснению результата. Их нельзя вынести в необязательное примечание, удалить и продолжить пользоваться тем же числом как универсальным свойством процедуры.
Точное описание может одновременно содержать два утверждения: каждый метод оценивания несмещён в заданном упражнении, а максимум независимых оценок в том же упражнении имеет положительное смещение. Противоречия здесь нет, потому что утверждения относятся к разным величинам. Именно это различие составляет полезный аналитический результат. После выбора числа меняется вопрос, на который должно отвечать заявление о его точности; свойства исходного метода не переносятся на итог автоматически.